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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
e) f(x)=−3(x−1)2f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=−3(x−1)2f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que el denominador sea distinto de cero, es decir, (x−1)2≠0(x-1)^2 \neq 0. Despejando, esto es lo mismo que pedir que x≠1x \neq 1

Por lo tanto el dominio de ff es R−{1}\mathbb{R} -\{1\}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R−{1}\mathbb{R} -\{1\}, entonces x=1x = 1 es candidato a ser asíntota vertical. Lo confirmamos estudiando el comportamiento de la función cuando xx tiende a 11 por derecha y por izquierda:

lim⁡x→1+−3(x−1)2=−∞ \lim_{x \to 1^+} -\frac{3}{(x-1)^{2}} = -\infty lim⁡x→1−−3(x−1)2=−∞ \lim_{x \to 1^-} -\frac{3}{(x-1)^{2}} = -\infty

Por lo tanto, f(x)f(x) tiene una asíntota vertical en x=1x=1.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞−3(x−1)2=0 \lim_{x \to +\infty} -\frac{3}{(x-1)^2} = 0 lim⁡x→−∞−3(x−1)2=0 \lim_{x \to -\infty} -\frac{3}{(x-1)^2} = 0

Es decir, ff tiene una asíntota horizontal en y=0y = 0 tanto en +∞+ \infty como en −∞-\infty
3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

Acordate que para derivar esta función te conviene pensar a la función reescrita de esta manera: f(x)=−3(x−1)−2f(x) = -3 (x-1)^{-2}, y la derivás como un polinomio común y corriente. Vas a llegar a...

f′(x)=6(x−1)3 f'(x) = \frac{6}{(x-1)^3}
  4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

6(x−1)3=0\frac{6}{(x-1)^3} = 0

6=0→6 = 0 \rightarrow Absurdo!

Por lo tanto, f(x)f(x) no tiene puntos críticos

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
a) x<1 x < 1 b) x>1 x > 1

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

a) Para x<1 x < 1 , elegimos x=0 x = 0 : f′(0)=−6<0 f'(0) = -6 < 0 La función ff es decreciente. b) Para x>1 x > 1 , elegimos x=2 x = 2 : f′(2)=6>0 f'(2) = 6 > 0 La función ff es creciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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